函數是現代數學的主要研究對象，貫穿于初等教育、中等教育和高等教育各個階段，在各種類型的教育教學過程中，函數都是最基礎的數學概念之一，但大多數學生卻不甚理解函數這個概念的內涵，常常是知其然，不知其所以然．請看下述三例:

例1設{fn(x)}是定義在R上的函數列，則建立如下映射，g:{fn(x)}→N，fn(x)?→n，即n=g(fn(x))，該映射是函數嗎?為什么?

例2設2003數本班全體學生構成集合A={s1，s2，…，sn}，集合B={(姓名，性別，籍貫，出生日期，政治面貌)}，則建立如下映射，h:A→B，學生?→(姓名，性別，籍貫，出生日期，政治面貌)，該映射是函數嗎?為什么?

例3f={(x，y)?x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)?x∈R，y∈R}，試問:f是函數嗎?為什么?

下面，本人對函數概念進行整理和注解，希望對學生有所幫助，同時，權作同行交流探討．

一、函數概念的介紹

1．產生階段

16世紀，隨著自然科學對物體運動研究的深入開展，尤其是對各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關系的研究，促使數學學科產生了變量和函數的概念．從這個意義上來講，函數概念來源于現實生活，產生在人們對自然現象的不斷探索過程之中，所以對函數概念的理解和把握，要充分尊重它的現實意義和實際應用．

2．發展階段

(1)原始概念．“函數”這個數學術語首先是由德國數學家萊布尼茲提出來的，他定義的函數的含義是指關于曲線上的點的橫坐標與縱坐標以及一些線段(如弦、切線、法線等)的長度．根據此函數定義，坐標、弦長和切線都是函數!顯然非常模糊，且不具體，與我們現行的函數定義相差甚遠．

(2)第一次擴張．1748年，數學家歐拉將函數定義為:“變量的函數是一個解析表達式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的．”1775年，歐拉又給出了函數的另一種定義:“如果某些變量，以這樣一種方式依賴另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之而變化，那么前面變量稱為后面變量的函數．”上述歐拉給出的函數的兩個定義稱之為解析的函數概念．例如x2+x+1，(x－2)2+y2，等等，這與現行的函數定義相差不多了，只要稍作修改為f(x)=x2+x+1;f(x，y)=(x－2)2+y2即可．見上述例1、例2、例3．

(3)第二次擴張．歐拉在提出解析的函數概念的同時，給出了圖像的函數概念:“在xOy平面上任意畫出的曲線所確定了的x，y之間的關系．”

(4)第三次擴張．1837年，德國數學家狄里赫萊進一步給出了函數的定義:“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫做x的函數．”黎曼也給出了類似的定義:“對于x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱作是x的函數．”上述函數的兩個定義稱之為對應關系的函數概念．

(5)近、現代函數的定義．在近、現代數學中，函數的概念又有了進一步的發展，建立在“集合”和“對應”這兩個基本概念的基礎之上，其定義為:集合到集合的單值對應．即非空集合間的映射叫做函數．記作f:A→B，x?→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函數的定義域，f叫做函數的對應法則，f(A)叫做函數的值域．

二、函數概念的注解

現行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中，對函數概念的定義不外乎兩種，其一是變量的函數觀點，其定義為:“設在某變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一的確定的值和它對應，那么就把y叫做x的函數，x叫做自變量．”這在中學數學課本中，非常普遍，也比較流行．其二是對應的觀點，其定義為:“非空數集間的映射叫做函數．”但無論是哪一種定義，都比較狹隘，非常局限，會誤導學生，特別是對學生今后的數學學習造成隱患，有必要對其進行探究和解釋說明．

1．修訂

對于定義“設在某變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一的確定的值和它對應，那么就把y叫做x的函數，x叫做自變量．”把函數定義為變量，顯然與高等數學中映射的觀點不相符，給大學階段的數學教學埋下了隱患．而定義“集合到集合的單值對應．即非空集合間的映射叫做函數．”當然也是有問題的．一是何謂單值?集合中的元素一定是“值”嗎?二是何謂單值對應?把現行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中函數概念定義為:“非空集合間的映射叫做函數．”記作f:A→B，x?→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函數的定義域，f叫做函數的對應法則，f(A)叫做函數的值域．強調函數是集合間的一種關系，一種特殊的關系!這樣，既便于學生理解，又與今后數學的學習不矛盾．

2．注釋說明

(1)當A，B都是數集時，f就是現行各種教材中函數的定義．其中A，B可以是無限集，也可以是有限集．

例4y=f(x)=2x+3，x∈R．

(2)當A，B不都是數集，或都不是數集時，f仍然是集合A到集合B的函數．請看下面的例子:

例5集合點名．叫“張三”，就有一個名字叫張三的人答應(假設集合中名字叫張三的人唯一)，這就是名字集到人集的映射，當然是函數，而且是非數集到非數集的函數!根據概率的定義，“隨機事件A發生可能性大小的度量(數值)，稱為A發生的概率，記作P(A)．”其實質是事件域T到無限集［0，1］的映射，是函數!因而才有概率的公理化定義:“概率是定義在事件域T上的一個非負的、規范的、可列可加的集函數．”