基于泰勒展開的航空材料拉伸檢測不確定度研究

　　摘 要：由實(shí)驗室設(shè)備檢測得到的試樣的測量值，僅僅是被測量的估計值，測量過程中的隨機(jī)效應(yīng)及系統(tǒng)效應(yīng)，均會導(dǎo)致測量的不準(zhǔn)確性，這種不準(zhǔn)確性用數(shù)值進(jìn)行衡量，即為該測量值的不確定度。本文使用 3D 打印合金試驗數(shù)據(jù)，首先通過理論分析，基于泰勒公式研究了尺寸測量引入的不確定度，給出了抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長率和斷面收縮率等檢測項目測量不確定度的表達(dá)式;然后選取同批次航空材料試驗數(shù)據(jù)計算其擴(kuò)展不確定度;最后通過對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究了基于泰勒展開計算擴(kuò)展不確定度方法對于預(yù)測該種材料的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度等的擴(kuò)展不確定度范圍的可行性;通過進(jìn)一步優(yōu)化該算法，固化流程，設(shè)計信息化系統(tǒng)，擴(kuò)充樣本數(shù)量并建立數(shù)據(jù)庫進(jìn)行動態(tài)計算，得到優(yōu)化后的擴(kuò)展不確定度計算方法，驗證了信息化系統(tǒng)對于預(yù)測該種材料的斷后伸長率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度范圍的可行性。

　　王艾倫; 尚進(jìn); 曹瑋， 科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 發(fā)表時間：2021-07-05

　　關(guān)鍵詞：不確定度;3D 打印合金;泰勒公式

　　1 背景

　　由實(shí)驗室設(shè)備檢測得到的試樣的測量值，僅僅是被測量的估計值，測量過程中有很多隨機(jī)因素以及系統(tǒng)效應(yīng)，均會導(dǎo)致不確定度[1-3] 。不確定度的評定方法流程主要包含分析不確定度影響因素并建立數(shù)學(xué)模型、評定測量不確定度、計算合成不確定度、計算擴(kuò)展不確定度等四個步驟[4] 。不確定度描述了測量結(jié)果的正確性的可疑程度或不肯定程度。對于金屬材料和非金屬材料的力學(xué)理化性能參量進(jìn)行測量的時候，不論試驗人員、試驗儀器設(shè)備、試驗樣品、試驗方法、試驗環(huán)境等多方面的因素如何完善，其值的測量結(jié)果也會存在不確定性[5-7] 。隨著國內(nèi)外航空航天等高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)的飛速發(fā)展，在很多測量過程中，特別是材料性能的測量試驗中，都需要評定試驗結(jié)果的不確定度以及其可靠的概率[8-10] 。

　　在實(shí)際檢測中，有很多影響因素可能導(dǎo)致不確定度的來源。例如：被測量的復(fù)現(xiàn)不理想;對被測量由于環(huán)境條件影響認(rèn)識不足;測量儀器的計量性能的局限性等因素[11]。針對拉伸性能的檢測過程，國內(nèi)外學(xué)者大致將結(jié)果的影響因素分為四大類：即重復(fù)性引入的測量不確定度;試驗機(jī)載荷引入的測量不確定度;待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度以及檢測速率引入的測量不確定度等[12-13]。國內(nèi)外相關(guān)檢測標(biāo)準(zhǔn)針對拉伸檢測的測量不確定度評定均有一定的要求，但都沒有一套完整的方案來進(jìn)行評定。特別是針對航空材料拉伸檢測測量不確定度的研究較少，目前針對重復(fù)性、試驗機(jī)載荷以及檢測速率的研究已經(jīng)有了一定的進(jìn)展;但針對待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度仍較為困難。本文主要考慮泰勒公式的展開式，進(jìn)行航空材料拉伸檢測測量不確定度研究。

　　2 理論分析

　　2.1 泰勒公式

　　泰勒公式，主要應(yīng)用在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域，是一個用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。泰勒公式得名于英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒，公式如下：其中 f (n) (x0)表示 f(x)的第 n 階導(dǎo)數(shù)，等號右側(cè)的多項式稱為函數(shù)在 x0 處的泰勒展開式，剩余的 Rn(x)是泰勒公式的余項，是 (x-x0)n 的高階無窮小。

　　2.2 (1-x) -1 的展開式

　　研究待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度，主要是研究如何將測量設(shè)備的尺寸檢測測量不確定度(長度單位，通常為 mm)轉(zhuǎn)化為針對待測樣品的尺寸測量引入的其它檢測測量不確定度(強(qiáng)度單位，通常為 MPa 或無量綱單位，通常為%)。由于尺寸的測量值主要集中在數(shù)學(xué)模型的分母處，例如抗拉強(qiáng)度(MPa)為載荷(kN)與待測樣品的橫截面積(mm2 )的比值。因此選擇(1-x) -1 的展開式進(jìn)行后續(xù)的研究，(1-x) -1 展開式在 x 趨近于 0 時，其形式如下：由于測量不確定度本身就是測量過程中的一個極微小的量，該值與被測量估計值的比值基本可以認(rèn)為是一個趨近于 0 的數(shù)值，二階小量以及后續(xù)的余項忽略不計。因此本文研究只考慮展開式的一階項進(jìn)行后續(xù)研究。

　　3 針對待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度

　　3.1 抗拉強(qiáng)度

　　拉伸檢測抗拉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型如下公式：Rm=Fm/S0 式中 Rm 表示抗拉強(qiáng)度，F(xiàn)m 表示試驗過程中載荷的最大值， S0 表示待測樣品的原始橫截面積。應(yīng)用泰勒公式展開并忽略二階小量后，可以得到：因此可以得到：

　　3.2 屈服強(qiáng)度

　　拉伸檢測屈服強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型如下公式：R0.2=F0.2/S0 式中 R0.2 表示抗拉強(qiáng)度，F(xiàn)0.2 表示試驗過程中塑性應(yīng)變?yōu)?0.2%時的載荷值，S0 表示待測樣品的原始橫截面積。由于屈服強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型相似程度較高，此處不做推導(dǎo)，給出：

　　3.3 斷后伸長率

　　拉伸檢測斷后伸長率的數(shù)學(xué)模型如下公式：Z=(Lu-L0)/L0 式中 Lu 表示斷后標(biāo)距，L0 表示原始標(biāo)距。由于兩個參量均通過尺寸測量設(shè)備直接獲得，因此需要分別考慮兩者引入的測量不確定度。首先計算由原始標(biāo)距測量引入的測量不確定度，對應(yīng)用泰勒公式展開并忽略二階小量后，可以得到：因此可以得到：然后計算由斷后標(biāo)距測量引入的測量不確定度：因此可以得到：

　　3.4 斷面收縮率

　　拉伸檢測斷面收縮率的數(shù)學(xué)模型如下公式：A=(S0-Su)/S0 式中 Su 表示斷后橫截面積，S0 表示原始橫截面積。由于兩個參量均通過尺寸測量設(shè)備直接獲得，因此需要分別考慮兩者引入的測量不確定度。由于斷面收縮率與斷后伸長率的數(shù)學(xué)模型相似程度較高，此處不做推導(dǎo)，但需要說明的由原始橫截面積測量引入的測量不確定度推導(dǎo)過程與斷后標(biāo)距測量引入的測量不確定度類似;同樣的，由斷后橫截面積測量引入的測量不確定度推導(dǎo)過程與原始標(biāo)距測量引入的測量不確定度類似。給出

　　4 數(shù)據(jù)分析

　　4.1 拉伸檢測擴(kuò)展不確定度的求解

　　本文研究分析拉伸檢測測量不確定度的試驗數(shù)據(jù)選擇 5 組同批次 3D 打印合金來進(jìn)行計算，主要應(yīng)用位置位于發(fā)動機(jī)燃油噴嘴處，試驗數(shù)據(jù)經(jīng)過修約后列于表 1 中，修約規(guī)則參考 ASTM E8/E8M 執(zhí)行。

　　除去尺寸測量因素引入的測量不確定度，本文研究還考慮了其它影響因素，例如重復(fù)性、載荷以及檢測速率等，相關(guān)參數(shù)列于表 2 中。根據(jù) ASTM E8/E8M 的相關(guān)要求，本文研究選擇的尺寸測量設(shè)備為數(shù)顯游標(biāo)卡尺，經(jīng)過校準(zhǔn)得到其測量不確定度為 0.01mm，進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)對于斷后伸長率，ud0(mm)可以看作是 L0 的高階無窮小，因此原始標(biāo)距測量引入的測量不確定度忽略不計;同樣的，對于斷面收縮率，2ud0(mm)可以看作是 d0 的高階無窮小，因此原始橫截面積測量引入的測量不確定度忽略不計。其它影響因素引入的測量不確定度根據(jù)表 1 試驗數(shù)據(jù)計算。

　　通常情況下，取置信概率為 95%計算擴(kuò)展不確定度，此時包含因子 k=2。因此得到拉伸檢測擴(kuò)展不確定度，如表 3 所示。

　　4.2 拉伸檢測擴(kuò)展不確定度的分析

　　本文研究選用同批次多組相同工藝的 3D 打印合金試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行拉伸檢測擴(kuò)展不確定度的分析。將抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長率以及斷面收縮率等數(shù)據(jù)和其所對應(yīng)的擴(kuò)展不確定度的上下門限值共同繪制在統(tǒng)一曲線圖中，如圖 1 至圖 4 所示。

　　經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，對于抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度等檢測項目來說，同批次多組相同工藝的試驗數(shù)據(jù)完全落在了不確定度的上下門限內(nèi)，本文研究給出的擴(kuò)展不確定度計算方法和樣本數(shù)量對于預(yù)測該種材料的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度的擴(kuò)展不確定度范圍是可行的。對于斷后伸長率等檢測項目來說，只有少數(shù)試驗數(shù)據(jù)落在了不確定度評定的上下門限內(nèi)，大部分試驗數(shù)據(jù)低于不確定度的下限值。對于斷面收縮率等檢測項目來說，約有一半的試驗數(shù)據(jù)落在了不確定度評定的上下門限內(nèi)，少部分試驗數(shù)據(jù)低于不確定度的下限值。分析其主要原因有如下幾點(diǎn)：首先，即便對于同批次多組相同工藝的試樣來說，斷后伸長率以及斷面收縮率受機(jī)械加工工藝、材料內(nèi)部缺陷以及試樣表面狀態(tài)等多種不確定因素的影響較大，因此導(dǎo)致結(jié)果的分散程度較高;其次，斷后伸長率和斷面收縮率需要手動進(jìn)行尺寸測量，測量過程的精準(zhǔn)程度直接作用于結(jié)果的準(zhǔn)確程度，人為因素影響較大。而抗拉強(qiáng)度或屈服強(qiáng)度等數(shù)值由試驗設(shè)備直接給出，幾乎不存在人為因素的干擾;最后，斷后伸長率和斷面收縮率對于計算不確定度所選取的樣本數(shù)量較為敏感，應(yīng)該擴(kuò)大樣本的數(shù)量以得到更為精確的不確定度范圍。綜上所述，本文研究給出的擴(kuò)展不確定度計算方法和樣本數(shù)量選擇對于預(yù)測該種材料的斷后伸長率和斷面收縮率的測量不確定度范圍較為保守，上下門限值較為接近，為進(jìn)一步避免人為因素導(dǎo)致的影響，后續(xù)可以擴(kuò)充樣本數(shù)量或建立數(shù)據(jù)庫進(jìn)行動態(tài)計算。

　　4.3 優(yōu)化后的擴(kuò)展不確定度計算方法

　　基于上述章節(jié)樣本數(shù)量對于斷后伸長率和斷面收縮率計算不確定度所造成的影響，本文研究通過增加樣本數(shù)量的方法來進(jìn)行優(yōu)化。由于擴(kuò)展不確定度的計算過程較為復(fù)雜，隨著樣本數(shù)量的增多，計算量逐步增加;但是其計算過程較為固化，因此考慮引入信息化手段建立數(shù)據(jù)庫通過動態(tài)計算擴(kuò)展不確定度，來解決上述問題。如圖 5 所示，為根據(jù)泰勒展開公式編寫的拉伸檢測擴(kuò)展不確定度計算系統(tǒng)。系統(tǒng)主要設(shè)計思路是將本文中拉伸檢測抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長率和斷面收縮率的計算方法通過代碼嵌入系統(tǒng)中，設(shè)計可視化的界面來進(jìn)行操作。每次輸入的試驗數(shù)據(jù)可以導(dǎo)入數(shù)據(jù)庫，并保存下來，作為后續(xù)相同批次拉伸試樣的計算樣本;此外通過固化流程，使得計算過程較為便捷準(zhǔn)確。

　　拉伸檢測擴(kuò)展不確定度評定系統(tǒng)軟件主要包含試驗數(shù)據(jù)模塊、試驗結(jié)果計算模塊、參數(shù)選擇模塊和擴(kuò)展不確定度計算模塊等六個模塊。試驗數(shù)據(jù)模塊主要用于某次試驗結(jié)果的輸入，主要通過輸入某次拉伸試驗的測量結(jié)果，包含兩個關(guān)鍵強(qiáng)度值結(jié)果和尺寸測量結(jié)果等。試驗結(jié)果計算模塊主要用于通過輸入的尺寸測量結(jié)果由軟件計算得到兩個關(guān)鍵尺寸變化率結(jié)果。提示框模塊主要用于通過提示用戶下一步的操作，或是在用戶執(zhí)行錯誤操作后，給予一定的建議和解決方案。

　　試驗數(shù)據(jù)模塊可以實(shí)現(xiàn)某次試驗結(jié)果的輸入，主要通過輸入拉伸試驗檢測的幾項關(guān)鍵數(shù)據(jù)來進(jìn)行后續(xù)的計算工作，并將試驗數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)據(jù)庫。該模塊主要包含 6 個輸入接口組成。輸入接口包含屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度、初始直徑、斷后直徑、初始標(biāo)距和斷后標(biāo)距 6 個參數(shù)。如圖 6 所示，為一個拉伸試樣的擴(kuò)展不確定度計算的算例。

　　借助優(yōu)化后擴(kuò)展不確定度計算系統(tǒng)，重新計算同批次多組相同工藝的 3D 打印合金斷后伸長率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度，結(jié)果如表 4 所示。對比 4.2 章節(jié)圖中相關(guān)數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)此時擴(kuò)展不確定度的上下門限值范圍已經(jīng)超過 20%，顯然已經(jīng)可以涵蓋所有試驗數(shù)據(jù)。本文研究給出的優(yōu)化后的擴(kuò)展不確定度計算方法和信息化系統(tǒng)對于預(yù)測該種材料的斷后伸長率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度范圍是可行的。

　　5 結(jié)論

　　給出了一種基于泰勒展開的航空材料拉伸檢測測量不確定度計算方法。通過理論分析，得到了針對待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度在抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長率和斷面收縮率等檢測項目的表達(dá)式。該表達(dá)式可以直接應(yīng)用于測量不確定度的計算，對于拉伸檢測等試驗、控制與測試過程具有工程價值。

　　選取同批次 5 組相同工藝的 3D 打印合金試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行拉伸檢測測量不確定度的計算，計算得到了該種航空材料抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度。

　　通過對比分析多組相同工藝的試驗數(shù)據(jù)，結(jié)果表明本文研究給出的測量不確定度計算方法和樣本數(shù)量對于預(yù)測該種材料的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度的測量不確定度范圍是可行的;設(shè)計信息化系統(tǒng)通過擴(kuò)充樣本數(shù)量并建立數(shù)據(jù)庫進(jìn)行動態(tài)計算，得到優(yōu)化后的擴(kuò)展不確定度計算方法和信息化系統(tǒng)對于預(yù)測該種材料的斷后伸長率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度范圍是可行的。