基于虛擬制備的金屬橡膠各向異性本構(gòu)特性研究

　　摘要：金屬橡膠是一種各向異性的多孔材料，其本構(gòu)特性常靠人工經(jīng)驗或試驗獲得，內(nèi)部復(fù)雜的螺旋網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)無法通過測試手段弄清機(jī)理。為此，運(yùn)用虛擬制備技術(shù)與數(shù)值動態(tài)重構(gòu)等手段，深入探究金屬橡膠內(nèi)部空間幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和彈簧微元間接觸摩擦機(jī)理，結(jié)合掃描電子顯微鏡(Scanning electron microscope，SEM)中材料的微觀形態(tài)進(jìn)一步解釋金屬橡膠在宏觀上的各向異性力學(xué)行為。通過引入彈簧微元組合概率分布以及空間局域性孔隙分布的概念，有效表征金屬橡膠材料內(nèi)部彈簧微元無序式網(wǎng)格互穿結(jié)構(gòu)。充分考慮金屬橡膠細(xì)觀上的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與微觀摩擦機(jī)理參量，以及包含了材料形狀、相對密度、金屬絲直徑、螺旋卷螺距、金屬絲彈性模量等宏觀制備參數(shù)，構(gòu)建能夠反映金屬橡膠細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征與宏觀性能相一致的各向異性本構(gòu)模型。通過與材料準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗結(jié)果對比分析，采用殘差分析定量驗證。結(jié)果表明，提出的金屬橡膠各向異性的本構(gòu)模型，能夠有效地反映與預(yù)測金屬橡膠材料的復(fù)雜各向異性力學(xué)行為，為材料的深入研究與應(yīng)用普及提供一定的理論指導(dǎo)。

　　關(guān)鍵詞：金屬橡膠;各向異性;數(shù)值動態(tài)重構(gòu);空間幾何拓?fù)?微觀摩擦機(jī)理

　　任志英; 方榮政; 陳小超; 沈亮量; 白鴻柏; 林有希， 機(jī)械工程學(xué)報 發(fā)表時間：2021-11-17

　　0 前言

　　金屬橡膠是一種彈性多孔金屬基材料，能夠克服傳統(tǒng)高分子橡膠材料易老化、溫度等環(huán)境適應(yīng)性差等缺點(diǎn)，已經(jīng)是航天、航空、航海裝備及兵器、地面突擊裝備等國防高技術(shù)領(lǐng)域急需的關(guān)鍵減振降噪材料[1-2]。同時金屬橡膠又是一種內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜、制備工藝繁瑣的阻尼減振材料，如圖 1 所示。金屬橡膠材料的制備工藝流程包括了三個部分，前處理階段主要是將繞制、定螺距拉伸制成的金屬絲螺旋卷，而毛坯成形階段則采用纏繞或編織等工藝制備成金屬橡膠毛坯，最后一部分是將毛坯放入特制模具中進(jìn)行冷沖壓成形，如圖 1c 所示。為了進(jìn)一步改善材料力學(xué)性能，通常還采用基于回火工藝的熱處理等后處理[3]。

　　復(fù)雜的制備流程使得金屬橡膠內(nèi)部結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出無序網(wǎng)格勾連交錯分布狀態(tài)，在宏觀上呈現(xiàn)出材料的各向異性本構(gòu)行為。目前關(guān)于金屬橡膠材料本構(gòu)機(jī)理研究方法主要有基于試驗的數(shù)據(jù)分析與基于數(shù)值模擬的等效模型。RODNEY 等[4]通過力學(xué)試驗與離散元模擬相結(jié)合，分別研究了基于銅、形狀記憶合金和聚酰胺等材料研制的金屬橡膠泊松函數(shù)關(guān)系。YANG 等[5]結(jié)合材料動力學(xué)試驗，通過提出了截面畸變系數(shù)評價振動可靠性，研究環(huán)形金屬橡膠在循環(huán)動載荷下的振動可靠性特征和阻尼性能。但該方法需要大量的試驗數(shù)據(jù)支撐，對試驗過程的穩(wěn)定性十分敏感，為此，學(xué)者們開始采用仿真手段解釋材料的本構(gòu)機(jī)理。LI 等[6]以多孔材料為基礎(chǔ)，結(jié)合小曲梁模型建立了金屬橡膠非線性本構(gòu)關(guān)系。曹鳳利等[7]對金屬橡膠內(nèi)部彈性微元的空間運(yùn)動模式與變形模式進(jìn)行分析，基于懸臂曲梁模型建立了包含材料基本結(jié)構(gòu)參數(shù)、細(xì)觀特征參數(shù)的金屬橡膠本構(gòu)模型。朱彬等[8]根據(jù)不同的接觸狀態(tài)，分別建立了橫向和縱向排列的彈簧微元體金屬橡膠遲滯特性的本構(gòu)模型。XUE 等[9]對金屬橡膠內(nèi)部的彈簧微元分布角度進(jìn)行了正態(tài)分布假設(shè)，在此基礎(chǔ)上通過懸臂曲梁模型研究了金屬橡膠的遲滯特性與變剛度力學(xué)特性。當(dāng)前研究主要是金屬橡膠的成形向，關(guān)于非成形向的本構(gòu)特性研究較少。只有國內(nèi)學(xué)者曹鳳利等[10]依據(jù)金屬橡膠非成形向變形的主要特征，通過二維曲梁的動態(tài)形變原理與材料內(nèi)部的接觸點(diǎn)分布規(guī)律，建立金屬橡膠非成形向的力學(xué)模型。XUE 等[11]基于金屬橡膠的纏繞與編織工藝，通過準(zhǔn)靜態(tài)與動態(tài)試驗對材料的各向異性行為進(jìn)行分析討論。

　　綜上所述，現(xiàn)有關(guān)于金屬橡膠材料的本構(gòu)機(jī)理研究多采用等效模型，或單一規(guī)律性的橫/縱向分布的彈簧微元結(jié)構(gòu)，無法詮釋材料受載時錯綜無序排布結(jié)構(gòu)變化情況，更無法有效反映出金屬橡膠的宏觀力學(xué)性能。且現(xiàn)有的微觀接觸力學(xué)模型嚴(yán)格意義上屬于準(zhǔn)靜態(tài)范疇，難以準(zhǔn)確地描述復(fù)雜螺旋網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)彈簧微元間各接觸點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變、接觸點(diǎn)分布等隨著外力作用后，彈簧微元相互接觸滑移、擠壓及變形時的動態(tài)演化過程，同時絕大多數(shù)模型都是圍繞成形方向的本構(gòu)特性[12]，因而不能對于金屬橡膠各向異性的本構(gòu)特性做出全面準(zhǔn)確的預(yù)測，很大程度限制了該材料的進(jìn)一步推廣應(yīng)用。

　　為此，本文以纏繞加工方式制備的空心圓柱金屬橡膠為研究對象，建立綜合考慮金屬橡膠各向異性、材料屬性、彈簧微元幾何尺寸及纏繞工藝參數(shù)等因素的螺旋網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)有限元模型，探究材料在各向動態(tài)效應(yīng)下彈簧微元的空間幾何拓?fù)潢P(guān)系以及荷載作用下的接觸摩擦演化規(guī)律，構(gòu)建從微觀角度能有效反映金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元細(xì)觀接觸摩擦參數(shù)與宏觀制備參數(shù)的材料各向異性本構(gòu)模型，為制備金屬橡膠提供一定的理論依據(jù)。

　　1 金屬橡膠各向異性力學(xué)行為研究

　　1.1 金屬橡膠細(xì)觀形貌結(jié)構(gòu)與宏觀力學(xué)行為研究

　　為深入研究金屬橡膠各向異性的力學(xué)性能，采用 SEM 觀察材料在不同方向上呈現(xiàn)出的細(xì)觀紋理，如圖 2 所示。金屬橡膠在成形向上彈簧微元排布致密均勻，其彈簧微元間主要是群聚性規(guī)律的重疊結(jié)構(gòu);而非成形向上的金屬橡膠彈簧微元結(jié)構(gòu)紋理相對稀疏，在空間上主要是彈簧微元纏繞交錯的特征。金屬橡膠在結(jié)構(gòu)上的各向異性直接導(dǎo)致了在宏觀力學(xué)性能也存在著顯著的差異性。圖 3 為在成形/非成形向?qū)饘傧鹉z進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)加卸載試驗得到的材料遲滯曲線。結(jié)果表明與金屬橡膠在成形方向上受迫運(yùn)動所呈現(xiàn)的高度非線性剛度行為相比，材料非成形向的平均剛度明顯大于成形方向，還是一種準(zhǔn)線性的剛度行為特征。但是 SEM 僅僅觀察到了金屬橡膠的表面形貌，內(nèi)部結(jié)構(gòu)卻無法獲得，為此，本文將采用虛擬制備技術(shù)構(gòu)建具有復(fù)雜螺旋網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的金屬橡膠有限元模型，從最大程度上還原多孔無序結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對材料各向異性特性的探索。

　　1.2 復(fù)雜螺旋網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)金屬橡膠有限元模型

　　1.2.1 金屬橡膠虛擬制備技術(shù)

　　從圖 1 可知，金屬橡膠的制備工藝主要采用纏繞或編織技術(shù)形成毛坯，然后將其放入特定的模具中進(jìn)行沖壓成形。其中常見的纏繞工藝，主要將彎曲螺旋卷按一定的制備參數(shù)繞著模具的芯軸進(jìn)行纏繞制備。以毛坯的纏繞工藝為基礎(chǔ)，假設(shè)單根彎曲螺旋卷的旋轉(zhuǎn)軸線A 是一條圓柱螺旋線，則方程為 1 2 1 0 cos sin [ , ] ( ) X R Y R Z Z ? = ? ? = ∈ ? ? = −+ ψ ψ ψ ψψ ρψ ψ (1) 式中，ψ 為參數(shù)， 1 2 ψ ∈[, ] ψ ψ 為ψ 的取值范圍， R 為旋轉(zhuǎn)軸線A的半徑，Z0為 Z 軸起始點(diǎn)坐標(biāo)。

　　在 A 的起始點(diǎn) 1 10 ( cos , sin , ) R RZ ψ ψ 處建立初始局部坐標(biāo)系 11 11 oxyz ，其 1z 軸的單位方向向量在全局坐標(biāo)系下的描述為 1 1 0 1 11 12 13 22 22 22 000 sin cos (, , ) , , R R Z zzz RZ RZ RZ ? ? − = = ? ? +++ ? ? ψ ψ λ (2) 通過引入旋轉(zhuǎn)矩陣 C，將初始局部坐標(biāo)系 1 x 軸， 1 y 軸的單位方向向量在全局坐標(biāo)系下進(jìn)行表征 cos sin 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 sin cos 0 0 0 01 0 0 0 1 C ? ?? ? ? ?? ? − = − ? ?? ? α α αα β β β β (3) 式中， 0 1 2 2 0 arccos(cos ), arccos Z R Z ? ? = = ? ? ? ? + ? ? α ψβ 。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 123 1 123 , , ,1 1,0,0,1 , , ,1 0,1,0,1 xxx yyy − − ? = ? ? ? = ? C C (4) 便得到了初始局部坐標(biāo)系單位方向向量在全局坐標(biāo)系中的描述。最后將全局坐標(biāo)系原點(diǎn)和單位方向向量在初始局部坐標(biāo)系下表述為 00 0 (,, ) uvw , (,, ) x x x uvw ,(,, ) yy y uvw ,(,, ) z z z uvw 。至此，通過螺旋卷不斷自轉(zhuǎn)的同時，其局部坐標(biāo)系也沿著旋轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)移動使其不斷更新迭代，從而得到了單根金屬橡膠螺旋卷的全局坐標(biāo)參數(shù)(圖 4a)。

　　基于上述方法按照一定的金屬橡膠毛坯螺旋卷纏繞規(guī)則生成一系列的螺旋卷后，引入非經(jīng)典摩擦理論下罰函數(shù)算法[13-14]，完成了從金屬橡膠毛坯制備到?jīng)_壓成形的制備流程，見圖 4b 和圖 4c，最終虛擬仿真了整個纏繞制備工藝流程，構(gòu)建了金屬橡 膠復(fù)雜網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的幾何模型與有限元模型。

　　從圖 4c 中可以清楚地看到通過虛擬制備技術(shù)的金屬橡膠有限元模型，能夠有效地反映金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元真實(shí)結(jié)構(gòu)形貌。根據(jù)紋理特征，當(dāng)前學(xué)者們常常假設(shè)金屬橡膠彈簧微元的受載是成軸向或徑向[8]，見圖 4d，但這與實(shí)際上材料內(nèi)部微元在幾何拓?fù)潢P(guān)系中的呈一種空間角度隨機(jī)分布的復(fù)雜形式相違[15]。為深入研究更為合理的金屬橡膠材料各向異性的本構(gòu)模型，本文將對金屬橡膠有限元模型進(jìn)行加卸載，觀察內(nèi)部細(xì)觀的動態(tài)演化過程，以獲得其內(nèi)部空間幾何拓?fù)潢P(guān)系及各彈簧微元間的接觸現(xiàn)象。

　　1.2.2 金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元空間幾何拓?fù)潢P(guān)系

　　結(jié)合彈簧理論與卡式定理[16-17]得到僅承受軸向或徑向載荷微元彈簧的剛度表達(dá)式分別為式中，K1 是軸向微元彈簧的剛度;K2 是經(jīng)向微元彈簧的剛度;F 為軸向載荷; Fr 為徑向載荷; ΔZ 為軸向形變; ΔR 為徑向形變;L 為微元彈簧中徑，d 為金屬絲材料直徑，E 為材料彈性模量，r 為泊松比， α 為微元彈簧螺旋角。

　　根據(jù)式(5)推算出軸向/徑向載荷的彈簧微元的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，如圖 5 所示。

　　由圖 5 可知，不同載荷方向上螺旋卷微元彈簧所呈現(xiàn)出的應(yīng)力與應(yīng)變大相徑庭，僅受軸向載荷的微元彈簧由于螺旋卷自身的承載形變，在一定應(yīng)變下剛度變化幅度較小;而承受徑向載荷的微元彈簧在呈現(xiàn)出大剛度現(xiàn)象的同時，徑向剪切作用使得剛度隨著應(yīng)變的增大呈現(xiàn)小幅度的增長。然而從圖 2 和圖 4c 中的紋理可知，金屬橡膠形成的彈簧微元在結(jié)構(gòu)中的位置并不是成 90°或 180°，而是具有一定的空間隨機(jī)性，見圖 6。

　　為此，本文在式(5)的基礎(chǔ)上引入空間任意角度 ? ，即微元彈簧軸線方向與笛卡兒坐標(biāo)系 Z 軸方向所夾銳角，建立考慮微元的空間分布的微元彈簧剛 度模型為根據(jù)式(6)可以得到隨著空間分布角度? 的變化，彈簧微元在成形向或非成形向載荷作用下的剛度特性曲線。其中圖 7 為彈簧微元在成形向載荷作用下的剛度特性曲線。由圖 7 可知，隨著分布角度? 的不斷增大，剛度呈遞增趨勢，且非線性遞增，這是因為剪切分力增大使得微元所受壓縮荷載變小，使得分布角度較大微元體呈現(xiàn)的剛度較大。因此，不同空間分布角度的微元彈簧具有不同的力學(xué)性能，這也是造成金屬橡膠材料各向異性的一個重要因素。

　　為進(jìn)一步研究金屬橡膠宏觀上的本構(gòu)特性，對虛擬制備而成的金屬橡膠幾何模型內(nèi)的微元彈簧按照空間任意角度進(jìn)行分類，其中分布角度? 分為0～ 30°、30°～60°和 60°～90°這三類，同時為觀察這三類角度分布微元在載荷作用下隨時間演變情況，對金屬橡膠內(nèi)部微元彈簧單元進(jìn)行動態(tài)提取，實(shí)現(xiàn)材料內(nèi)部的幾何拓?fù)湫袨榈亩孔粉櫍员碚鹘饘傧鹉z內(nèi)部的真實(shí)彈簧微元分布特征，如圖 8 所示。

　　從圖 8 可知，成形后的金屬橡膠內(nèi)部微元彈簧分布角度 0～30°占最大比例，這與圖 2 中的 SEM 紋理角度基本一致，同時無論是成形向還是非成形向，其沖壓成形后的金屬橡膠微元彈簧空間幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已經(jīng)基本定型。從實(shí)線表示的成形向可知，在持續(xù)加載下(0～4 s)，30°～60°與 60°～90°的彈簧微元數(shù)量在變少，呈 0～30°角度逐漸變多，隨著卸載過程(4～8 s)又出現(xiàn)了由于彈性回彈的還原現(xiàn)象;而非成形在外載作用后的微元彈簧變化關(guān)系則相反，且每種角度占比變化率更大，這是由于金屬橡膠在非成形向上的彈簧微元分布結(jié)構(gòu)相對無規(guī)則、間隙大所導(dǎo)致的。另外，0～30°與 30°～60°的空間角度所占是主要比例，使得成形向的微元軸向分力大，而非成形向的徑向剪切分量更大，在宏觀上所體現(xiàn)出非成形向的剛度變大。

　　1.2.3 金屬橡膠彈簧微元接觸摩擦形態(tài)演化規(guī)律

　　為探究金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元在外力作用下的細(xì)觀接觸演變規(guī)律，精確描述金屬橡膠彈簧微元間的隨機(jī)摩擦接觸特性，本文采用小球算法與禁忌搜索算法，以微元化后的金屬絲段質(zhì)心為圓心，以接觸閾值 Δ 為半徑，創(chuàng)建接觸小球，通過模型加卸載過程中，各小球間的接觸碰撞來判斷金屬橡膠彈簧微元間的接觸點(diǎn)數(shù)量。采用超維度空間矩陣存放加卸載中發(fā)生碰撞接觸的小球空間坐標(biāo)參數(shù);使用禁忌搜索算法的局部鄰域搜索機(jī)制和禁忌準(zhǔn)則來避免迂回搜索，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)彈簧微元間接觸點(diǎn)的有效搜索并實(shí)時存放線接觸數(shù)據(jù)。

　　其中接觸閾值 Δ 的設(shè)定(這里選擇取閾值 Δ 為 1.1 倍的金屬絲直徑，即 0.165 mm)對于模型中金屬絲微元段的搜索精度至關(guān)重要(因為過大的微元劃分會降低搜索精度，而過小的微元化分會造成大量重復(fù)搜索)，本文中接觸小球的半徑取接觸閾值的 1/2。設(shè)模型中金屬絲螺旋卷根數(shù)為 n，通過搜索 n-1 根金屬絲螺旋卷建立解空間集合 S S = {π1, , " π nn } (7) 式中，π 為每一根金屬絲螺旋卷的空間微元集合， nn n = −1。

　　通過以解空間集合 S 中的金屬絲微元段質(zhì)點(diǎn)為圓心，根據(jù)接觸閾值設(shè)定半徑創(chuàng)建接觸小球模型，將每一根金屬絲螺旋卷的接觸小球分別與空間集合中的其他根金屬絲螺旋卷的接觸小球進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的計算，并將每一次計算的目標(biāo)函數(shù)值與設(shè)定的接觸閾值進(jìn)行比較，判斷小球是否發(fā)生了接觸，從而得到偽最優(yōu)值γ ，并放入候選集合內(nèi)，將搜索完畢的金屬絲放入禁忌區(qū)間，避免重復(fù)搜索從而減少搜索時間。

　　在每一次的迭代更新中將候選集中滿足式(10) 的偽最優(yōu)解存入禁忌列表，進(jìn)而更新候選集，得到最優(yōu)解集γ ′ 。通過上述不斷迭代更新候選集，排除線接觸的干擾，最終得到在某時刻模型的接觸點(diǎn)數(shù)量。

　　加載后的金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元間存在徑向擠式中，Di jt , , 為前一時刻接觸點(diǎn)的相對位移， ,, 1+ ′ Di jt 為后一時刻接觸點(diǎn)的相對位移。

　　彈簧微元接觸點(diǎn)運(yùn)動形態(tài)判斷標(biāo)準(zhǔn) D D i jt i jt ,, ,, 1 ′ = + (13) 在每一次接觸形態(tài)的判斷中，若式(13)成立，則接觸對為徑向擠壓;否則接觸對為滑移摩擦。

　　至此，在有限元模型基礎(chǔ)上，采用小球算法與禁忌搜索算法對金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元的細(xì)觀接觸進(jìn)行了深入探究。通過彈簧微元的接觸判定獲得了金屬橡膠內(nèi)部的空間接觸點(diǎn)動態(tài)分布圖，如圖 9、10、11、12 所示。其中 9、10 為成形向標(biāo)， , , j j j x y z 分別表示空間幾何中備選金屬絲螺旋卷中待搜索的小球圓心坐標(biāo)，jj 為第 k 根接觸小球總數(shù)。

　　通過每一根金屬絲螺旋卷搜索過程中目標(biāo)函數(shù)與接觸閾值的比較，將符合條件的偽最優(yōu)值γ 暫存入候選集中，然后精確定位其接觸小球的圓心坐標(biāo)，以便進(jìn)一步的接觸點(diǎn)的實(shí)時更新 Fk ij (π , )≤Δ (9) 將等間距連續(xù)序號的偽最優(yōu)候選點(diǎn)分別與從禁忌區(qū)域中重新調(diào)出的接觸小球進(jìn)行比較：若不同金屬絲間相對應(yīng)位置的連續(xù)接觸小球同時滿足目標(biāo)函數(shù)，則該范圍內(nèi)的接觸被視為線接觸壓與滑移摩擦兩種摩擦狀態(tài)。為了動態(tài)追蹤受載過程中金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元間的摩擦狀態(tài)，本文在預(yù)估出接觸點(diǎn)數(shù)量的基礎(chǔ)上，利用超維度空間矩陣實(shí)時定位存放接觸點(diǎn)的空間坐標(biāo)并進(jìn)行一系列的動態(tài)追蹤，即將某一時刻的接觸點(diǎn)空間坐標(biāo)作為一系列三維矩陣存放，將時間變量作為第四維度從而解決金屬橡膠彈簧微元間接觸點(diǎn)摩擦狀態(tài)的動態(tài)變化過程。

　　通過空間矩陣中相鄰時間內(nèi)接觸小球的相對位移來判定彈簧微元間接觸點(diǎn)的運(yùn)動形態(tài)所有金屬絲與單根彈簧微元的接觸點(diǎn)分布圖，而 11、12 為非成型向所有金屬絲與單根彈簧微元的空間接觸分。(a)～(c)為加載階段，(d)為卸載終止時刻。可知：在初始空間接觸狀態(tài)一致的基礎(chǔ)上，同一大小外載作用下，成形向的金屬橡膠接觸點(diǎn)在 Z 軸方向上發(fā)生了空間偏移，接觸點(diǎn)數(shù)量顯著上升;而非成形向的金屬橡膠內(nèi)部接觸點(diǎn)在時間序列上呈現(xiàn)出相對稀疏零散的狀態(tài)分布。特別地是，從圖中單根彈簧微元的軌跡路線中可以看出相比于成形向金屬橡膠內(nèi)部致密連續(xù)的接觸狀態(tài)，單彈簧微元的空間接觸軌跡在非成形向上的分布顯得錯落無序。

　　由于非成形向的大剛度特性，使得材料在同等荷載作用下較難進(jìn)一步的擠壓作用，接觸點(diǎn)數(shù)量變化相對較小。為直觀分析金屬橡膠內(nèi)部接觸點(diǎn)隨外載作用后的變化趨勢，對接觸點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計，如圖 13 所示。這與圖 9、10、11、12 的趨勢基本一致。金屬橡膠各向異性的力學(xué)性能不僅與接觸點(diǎn)數(shù)有關(guān)，還與接觸摩擦方式密不可分，通過統(tǒng)計各彈簧微元的接觸形式比例，分析其在宏觀上的力學(xué)特性，見圖 14。

　　從圖 14 可以清晰地看出，在外載作用下，成形向彈簧微元間的未接觸對比例減少，接觸滑移對占比在小幅度增加后逐漸降低，卸載后又出現(xiàn)了回增現(xiàn)象;另外成形向的彈簧微元間由于金屬絲之間的 “鎖死”狀態(tài)而產(chǎn)生的擠壓對比例逐漸增加，并且在卸載后呈現(xiàn)出松弛回彈的現(xiàn)象。于此同時，還可以看出無論在何階段，成形向金屬橡膠彈簧微元間的接觸區(qū)域摩擦滑移占據(jù)著大部分比例，這也是材料在成形方向上由于彈簧微元間的滑移摩擦造成其剛度非線性的重要因素。相比于成形向，非成形向的未接觸對比例較高。較多的未接觸微元彈簧需通過彈簧微元間的間隙調(diào)整來實(shí)現(xiàn)抵抗外力作用，同時滑移摩擦對占比呈現(xiàn)大幅度降低，更多的是轉(zhuǎn)化為彈簧微元間疊加作用所引起的互鎖擠壓情況。這種交錯勾連的空間幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，產(chǎn)生了彈簧微元自身徑向剪切的大剛度，使得彈簧微元間由于空間干涉約束產(chǎn)生的滑移摩擦現(xiàn)象不顯著，極大程度上依賴于材料內(nèi)部的“鎖死擠壓”作用，因而使得金屬橡膠在非成形向上體現(xiàn)出“大剛度”的本構(gòu)特性。

　　通過對金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元接觸方式的研究以及對不同荷載方向下金屬橡膠螺旋卷微觀運(yùn)動學(xué)行為的首次提出，很好地解釋了金屬橡膠非成形向本構(gòu)關(guān)系中大剛度與準(zhǔn)線性行為。其彈簧微元間的接觸模型以及受力分析圖如圖 15 所示，相較于金屬橡膠在成形方向上彈簧微元間的接觸方式由未接觸 -接觸滑移-擠壓逐漸演變，在非成形向材料彈簧微元間的運(yùn)動學(xué)行為主要表現(xiàn)為在彈簧微元對接觸摩擦比例大幅度降低的同時，通過間隙收攏與彈簧微元間同步交錯擠壓的細(xì)觀機(jī)理。

　　結(jié)合圖 15 中的摩擦形態(tài)模型，根據(jù)金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元間不同接觸形態(tài)變化，引入材料摩擦因數(shù)，分別得到未接觸、接觸滑移以及擠壓的微元組等效接觸剛度[17]式中，f 為金屬絲材料的摩擦因數(shù)，?1 、?2 分別為微元對不同載荷方向下的空間分布角度。

　　從式(14)～(16)中可以看出空間分布分別為 ?1 、?2 的微元彈簧對在不同接觸摩擦狀態(tài)下產(chǎn)生的等效接觸剛度不同。在金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元的空間幾何拓?fù)潢P(guān)系中，微元間的空間分布呈現(xiàn)出隨機(jī)組合的概率分布特點(diǎn)，即不同空間角度分布與不同摩擦形態(tài)的復(fù)合疊加效應(yīng)。為此，本文通過不同空間角度微元彈簧與微元組間不同接觸形態(tài)的隨機(jī)組合概率疊加，以極大程度上逼近于金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元間真實(shí)的勾連無序復(fù)雜螺旋網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。則基于微元彈簧空間組合概率分布的等效剛度表示為式中，n1(ε), n2(ε), n3(ε)分別為金屬橡膠內(nèi)部微元彈簧在形變中的小/中/大角度分布占比; , ( ) ηi j ε 為第 i, j 根微元組合的概率分布， , ( ) 2 i j i j i j nn i j nn i j ? ⋅ = ? = ? ? ⋅⋅ ≠ ? η ε ; ε 為載荷作用方向應(yīng)變。

　　2 基于虛擬制備的金屬橡膠各向異性本構(gòu)關(guān)系

　　在上述研究中，本文探究了金屬橡膠在各向荷載作用下內(nèi)部微元的空間幾何拓?fù)潢P(guān)系以及微元間的動態(tài)接觸摩擦規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，本文將材料內(nèi)部各向異性的兩項細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)作為重要變量引入，耦合金屬橡膠材料形狀、相對密度、金屬絲直徑、螺旋卷螺距、金屬絲彈性模量等宏觀制備參量，構(gòu)建金屬橡膠各向異性本構(gòu)關(guān)系模型。假設(shè)垂直于成形方向的單位面積上有 L(ε)個微元彈簧，在單位長度上有 m(ε)層彈簧，則每一層單位面積的總剛度 () () () 1 2 3 () () () () () () 11 1 ( ) NL N L N L L ijk KKKK ⋅ ⋅ ⋅ == = =+ + ∑∑∑ ′ ′′ ′′′ εε εε ε ε ε εεε (20) 式中， NN N 12 3 (ε ), , (ε ε ) ( ) 分別為未接觸微元彈簧對占比，接觸滑移微元彈簧對占比與擠壓微元彈簧對占比，且 NNN 123 (εεε ) + ( )+ 1 ( ) = 。 假設(shè)各層之間的微元彈簧為串聯(lián)關(guān)系[18]，則金屬橡膠總等效剛度為金屬橡膠本構(gòu)關(guān)系與材料形狀參數(shù)密切相關(guān)，故引入形狀因子 C，以探究不同形狀參數(shù)對金屬橡膠本構(gòu)關(guān)系的影響;同時為進(jìn)一步表征金屬橡膠在不同荷載作用下的內(nèi)部線匝的致密程度以及不同空間區(qū)域的滑移/擠壓效率，在這項模型中提出了材料局域空間孔隙分布的概念

　　式中，C 為形狀因子，C=L/A，L 為金屬橡膠高度， A 為金屬橡膠垂直于成形方向橫截面積; , , ( ) i ii Pxyz ε 為不同方向下金屬橡膠內(nèi)部局域性孔隙分布占比， i l 為線匝軸線長度， , , i ii x y z 分別表示材料內(nèi)部局部區(qū)域空間坐標(biāo)。聯(lián)立式(24)～(26)得到

　　至此，通過探究在不同方向載荷作用下金屬橡膠內(nèi)部彈簧微元的分布及接觸形式，最終得到金屬橡膠各向異性本構(gòu)關(guān)系，其中 KK K ′ ′′ ′′′ ( ), ( ), ( ) ε ε ε 分別為基于材料細(xì)觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與摩擦機(jī)理隨機(jī)組合概率下的未接觸、接觸滑移以及擠壓狀態(tài)的微元對等效剛度，是在細(xì)觀結(jié)構(gòu)中表征金屬橡膠材料各向異性特征的重要參量。

　　3 試驗驗證

　　3.1 樣品制備

　　為驗證本文所提出的基于虛擬制備技術(shù)的金屬橡膠各向異性本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性，進(jìn)行不同形狀(圓環(huán)形/方形)金屬橡膠樣品的制備，表 1 是制備工藝參數(shù)表，其工藝參數(shù)與虛擬制備一致，最終獲得不同形狀的樣品，如圖 16 所示。從圖 16 可以清晰地觀察到基于虛擬制備工藝的幾何模型，其紋理與實(shí)際制品呈現(xiàn)出高度的一致性。同時，無論是環(huán)形試件還是方形試件，金屬橡膠表面形貌均呈現(xiàn)空間各異的角度分布，其不同的細(xì)觀結(jié)構(gòu)對材料的宏觀力學(xué)特征有著重要的影響。

　　3.2 模型驗證

　　為進(jìn)一步驗證本文所構(gòu)建的本構(gòu)模型，采用準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗，在金屬橡膠的成形方向與非成形方向上分別施加相同載荷，以探究材料在不同承載方向上的位移-載荷關(guān)系曲線。其中準(zhǔn)靜態(tài)壓縮變形試驗采用 WDW-T200 微機(jī)控制電子萬能試驗機(jī)，試驗機(jī)最大試驗力為 200 kN，橫梁位移量：0～600 mm，移動速度：0.01～500 mm/min，變形分辨率為 0.001 mm。在這項工作中，試驗荷載設(shè)置為：金屬橡膠成形向/ 非成形向上 200 N 的力載荷，加載速率：2 mm/min，試驗設(shè)備如圖 17 所示。最終不同形狀金屬橡膠在不同方向加載后的力-位移曲線，見圖 18。

　　從圖 18 中可以看出，金屬橡膠在成形向外載作用時，所表征的本構(gòu)特征存在著明顯的線彈性階段軟特性階段-指數(shù)硬化階段的復(fù)雜非線性演化過程，而非成形向上的本構(gòu)關(guān)系曲線呈現(xiàn)出顯著的大剛度與準(zhǔn)線性特征。同時金屬橡膠的幾何形狀對材料各向異性的本構(gòu)力學(xué)行為影響較大，方形試件由于材料內(nèi)部線匝的緊密勾連結(jié)構(gòu)，其各向剛度特性均大于環(huán)形金屬橡膠。

　　為了避免由于設(shè)備測量精度、環(huán)境白噪聲等因素干擾而造成的試驗誤差，有效預(yù)估這項工作中所提出的模型精度，對結(jié)果進(jìn)行殘差分析。殘差分析是通過模型的實(shí)際值與預(yù)測值的差值來評價模型精度的有效手段。在殘差分析中模型的有效性是是通過相關(guān)指數(shù) R2 進(jìn)行定量衡量。R2 值越接近 1，模型的預(yù)測精度越高，實(shí)際變量與預(yù)測變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)。

　　式中，RSS 為殘差平方和，TSS 為總平方和，n 為數(shù)據(jù)采樣個數(shù)， i y 試驗觀測值， ˆi y 為模型預(yù)估值， y 試驗觀測均值。所研究的金屬橡膠樣品的殘余分析結(jié)果如表 2 所示。

　　從圖 18 的曲線吻合度與表 2 中的殘差值 R2 ，均可以看出無論在成形向還是非成形向上，本文所建的本構(gòu)模型與試驗達(dá)到良好的吻合度。因此基于虛擬制備技術(shù)的金屬橡膠各向異性本構(gòu)模型能夠有效預(yù)測金屬橡膠在宏觀上的力學(xué)性能，還可以進(jìn)一步闡釋材料的細(xì)觀接觸行為機(jī)理。

　　4 結(jié)論

　　本文通過虛擬制備技術(shù)準(zhǔn)確重塑了金屬橡膠這種各向異性材料的內(nèi)部真實(shí)空間幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在彈簧微元微觀尺度的接觸摩擦機(jī)理探究中，解釋了材料各向異性的宏觀力學(xué)行為特征，并構(gòu)建了金屬橡膠各向異性的本構(gòu)模型。

　　(1) 通過 SEM 深入分析了金屬橡膠彈簧微元結(jié)構(gòu)形貌在不同方向上的分布特點(diǎn)，從細(xì)觀與宏觀尺度上詳細(xì)討論了材料在結(jié)構(gòu)上的各向異性與其獨(dú)特的宏觀力學(xué)行為間的關(guān)系。

　　(2) 對金屬橡膠進(jìn)行基于工藝流程參數(shù)的虛擬制備，獲得接近真實(shí)的有限元模型。提取自適應(yīng)微元彈簧單元，通過數(shù)值重構(gòu)與動態(tài)分解，呈現(xiàn)金屬橡膠內(nèi)部空間幾何拓?fù)潢P(guān)系，以及彈簧微元對在細(xì)觀尺度上的接觸摩擦形式演化。為進(jìn)一步闡釋金屬橡膠各向異性的本構(gòu)關(guān)系特征奠定了較好的理論基礎(chǔ)。

　　(3) 引入彈簧微元組合概率分布模式，并提出了金屬橡膠線匝空間局域性孔隙分布的概念，極大程度表征了材料內(nèi)部的無序散布現(xiàn)象。將金屬橡膠在成形與非成形方向上的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參量與微觀摩擦參量與材料本構(gòu)方程進(jìn)行耦合，以構(gòu)建出包含形狀、密度、線徑、螺距、金屬絲彈性模量等宏觀參數(shù)和彈簧微元空間分布、接觸形態(tài)、摩擦因數(shù)等微觀參數(shù)的本構(gòu)模型，并通過準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗驗證了模型的合理性。