指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)路徑探尋

　　[摘 要] 文章以“二次函數(shù)”教學(xué)為例，提出初中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)路徑，即培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，用數(shù)學(xué)的眼光審視世界;培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題;培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，用數(shù)學(xué)的思維去分析解決問(wèn)題;培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，嘗試在現(xiàn)實(shí)背景中解決實(shí)際問(wèn)題.

　　[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);教學(xué)路徑

　　新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以簡(jiǎn)化為三個(gè)階段，一是根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活或具體情境，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題;二是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系或空間形式，在這一階段，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察分析、抽象概括、選擇判定等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)模型;三是利用模型求得數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果，用數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果去解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意義[1]. 如何提高學(xué)生的建模素養(yǎng)呢?對(duì)此，筆者以“二次函數(shù)”教學(xué)為例進(jìn)行探討.

　　培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，用數(shù)學(xué)的眼光審視世界

　　從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，對(duì)于具體的情境，觀察問(wèn)題不能流于形式，要培養(yǎng)學(xué)生一雙數(shù)學(xué)的眼睛，用數(shù)學(xué)的眼光審視世界，形成用數(shù)學(xué)思考的意識(shí)，看出其中存在的數(shù)學(xué)模型.

　　比如，在九年級(jí)下冊(cè)的“二次函數(shù)”教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)如下現(xiàn)實(shí)情境：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以下現(xiàn)實(shí)問(wèn)題列出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式. (1)生物園飼養(yǎng)小白兔，用16 m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的兔舍，已知圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x m，請(qǐng)用含x的關(guān)系式表示圍成的長(zhǎng)方形的面積. (2)今年一月份某工廠防疫護(hù)目鏡的產(chǎn)量是20萬(wàn)件，計(jì)劃之后每月增加產(chǎn)量，且月平均增長(zhǎng)率均為x，求第一季度防疫護(hù)目鏡的產(chǎn)量y萬(wàn)件與x之間的關(guān)系. (3)某賓館有40個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為160元時(shí)，房間會(huì)全部住滿;當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑. 若游客居住房間，則賓館須對(duì)居住的房間每天支出20元的各種費(fèi)用. 設(shè)每間房每天定價(jià)為x元，賓館每天利潤(rùn)為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式. 設(shè)計(jì)的情境旨在讓學(xué)生通過(guò)思考現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)生活到函數(shù)模型的過(guò)渡. 在教學(xué)中，筆者首先讓學(xué)生帶著上述目的去觀察列出的三個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題;其次，引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的觀察方法，而觀察的方法比較多，有全面觀察法、對(duì)比觀察法等，在觀察之前，要有目的地選擇觀察方法，有重點(diǎn)、有針對(duì)性地觀察;最后，要求學(xué)生一邊觀察一邊做好記錄，并根據(jù)上述情境列出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)然對(duì)于數(shù)據(jù)較多的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，需要用表格的形式把每一項(xiàng)的結(jié)果表述清楚，有了觀察結(jié)果，后面的總結(jié)便有了方向.

　　在教學(xué)中，觀察是必需的教學(xué)環(huán)節(jié)，但僅限于觀察遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，發(fā)現(xiàn)隱含在現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì). 愛因斯坦曾言，學(xué)習(xí)者能否獲得眼前的現(xiàn)象，不是肉眼決定的，而是取決于學(xué)習(xí)者用什么樣的思維去思考，有了什么樣的思想，才會(huì)有什么樣的觀察[2]. 因此，教師在設(shè)置情境時(shí)，要提出有數(shù)學(xué)思考的問(wèn)題，讓學(xué)生帶著思考去觀察，培養(yǎng)學(xué)生擁有一雙慧眼，并讓學(xué)生的觀察成為一種習(xí)慣，習(xí)慣養(yǎng)成了，素養(yǎng)的生成自然水到渠成.

　　培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題

　　數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維可視化呈現(xiàn)的有效載體，因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力就顯得尤為重要. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在課堂上有秩序、有邏輯地表達(dá)思維過(guò)程，進(jìn)而提高用專業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

　　在創(chuàng)設(shè)了“二次函數(shù)”的教學(xué)情境后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)其中的數(shù)量關(guān)系.

　　生1：因?yàn)殚L(zhǎng)方形兔舍的周長(zhǎng)為16 m，所以兩鄰邊長(zhǎng)之和為8 m，其中長(zhǎng)為x m，寬為(8-x)m. 根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式，得長(zhǎng)方形兔舍的面積S=x(8-x)，即S=-x2+8x.

　　生2：因?yàn)榈谝患径劝ㄈ齻€(gè)月：一月、二月、三月，一月份的產(chǎn)量為20萬(wàn)件，其后每月的增長(zhǎng)率為x，所以二月份的產(chǎn)量為20(1+x)萬(wàn)件，三月份的產(chǎn)量為20(1+x)(1+x)=20(1+x)2萬(wàn)件. 所以y=20+20(1+x)+20(1+x)2.

　　生3：因?yàn)槊刻烀總€(gè)房間需要支出20元，所以每天每個(gè)房間的利潤(rùn)是(x-20)元. 當(dāng)定價(jià)160元時(shí)可以住滿40個(gè)房間，房?jī)r(jià)每增加10元，就空閑一個(gè)房間，當(dāng)定價(jià)x元時(shí)，就增加了(x-160)元，空閑了個(gè)房間，所以還有

　　40-

　　個(gè)房間. 根據(jù)總利潤(rùn)=每間利潤(rùn)×間數(shù)，所以每天的總利潤(rùn)=(x-20)

　　40-

　　，化簡(jiǎn)得y=-x2+58x-1120.

　　師：以上三個(gè)函數(shù)表達(dá)式有何共同特點(diǎn)?請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括“二次函數(shù)”的概念，列舉有關(guān)“二次函數(shù)”的生活實(shí)例.

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　　在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，不論是方程模型、不等式模型還是函數(shù)模型，教師一般的做法是先出示相關(guān)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式;然后，讓學(xué)生說(shuō)出表達(dá)式，并觀察這些數(shù)學(xué)表達(dá)式的共同特點(diǎn);最后，總結(jié)概括概念. 但在實(shí)際課堂中，學(xué)生不主動(dòng)表達(dá)成為一種常態(tài)，基于此，教師在課堂教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)造激勵(lì)機(jī)制，進(jìn)行積極的正面引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)，并對(duì)表達(dá)給予積極的評(píng)價(jià);同時(shí)要給學(xué)生創(chuàng)造表達(dá)的機(jī)會(huì)，讓不同層次的學(xué)生在課堂上擁有話語(yǔ)權(quán)，都能在課堂上表達(dá)觀點(diǎn)，放飛思維;要加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)，要求學(xué)生表達(dá)觀點(diǎn)時(shí)，做到有條理、合乎邏輯，能準(zhǔn)確無(wú)誤地揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

　　培養(yǎng)學(xué)生思考能力，用數(shù)學(xué)的思維去分析解決問(wèn)題

　　數(shù)學(xué)沒有思維就失去了靈魂，失去了生命與活力. 因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要以思維為基礎(chǔ)，如此，思維能力提升才能真正落地. 章建躍認(rèn)為，為了從根本上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人，數(shù)學(xué)教學(xué)要特別注重思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思維精神，學(xué)生有了數(shù)學(xué)思維才能對(duì)事物做出正確判斷，進(jìn)而形成分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法論.

　　過(guò)去的“二次函數(shù)”教學(xué)，教師比較重視“二次函數(shù)”的概念與一般形式等顯性知識(shí)的教學(xué)，對(duì)于隱性知識(shí)，如程序性知識(shí)與策略性知識(shí)的教學(xué)存在缺失，致使學(xué)生無(wú)法體會(huì)概念形成的過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生的思維能力得不到培養(yǎng). 本教學(xué)中，筆者通過(guò)建立生活情境引導(dǎo)學(xué)生把客觀世界的數(shù)量關(guān)系抽象為函數(shù)關(guān)系，學(xué)生形成了對(duì)于“二次函數(shù)”的層進(jìn)式理解，從而構(gòu)建了“二次函數(shù)”的模型. 從領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的思想來(lái)看，基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的情境引入，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 通過(guò)生活實(shí)例來(lái)列不同形式的“二次函數(shù)”，學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)由模糊到清晰，逐漸建立起“二次函數(shù)”的模型，不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)生活的情境起到了模型化的作用，學(xué)生在列“二次函數(shù)”表達(dá)式的過(guò)程中，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問(wèn)題的過(guò)程，從而培養(yǎng)了他們動(dòng)腦思考的能力.

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